و برهان آن چنين است ؛ ABGD دايرهء نصف النّهار ، BeD خطّ نصف النّهار شهر Z ، و AEG خطّ نصف النّهار شهر H است [ شكل 8 ] ؛ فرض كنيم نقطهء K محلّ عبور ستاره بر دايرهء نصف النّهار در جنوب H و Z هردو ، و O نقطهء تقاطع معدّل النّهار با دايرهء ABGD باشد . اگر عرض شهر Z معلوم باشد ، تفاوت ميان دو ارتفاع ستاره يعنى KB و KA را كه AB و برابر با ZH است ، بر ZO كه عرض شهر Z است مىافزاييم و حاصل آن OH عرض شهر H خواهد بود ، چه ارتفاع شهر Z [ شكل 8 ] يعنى KB از ارتفاع شهر H يعنى KA بيشتر است . حال اگر فرض كنيم كه H شهرى باشد كه عرض آن شناخته است ، در اين صورت ارتفاع ستاره يعنى KA در اين شهر از ارتفاع KB در شهر Z كوچكتر است ، و بنابراين چون تفاوت HZ را از OH كه عرض شهر H است بكاهيم ، آنچه باقى مىماند ، يعنى OZ عرض شهر Z خواهد بود . و بر همين قياس است حالتى كه در آن ستاره بر سمت الرّأس شهر Z بگذرد كه اگر OZ معلوم باشد آن را با تفاوت دو ارتفاع جمع مىكنيم تا OH به‌دست آيد ، بدان جهت كه ارتفاع در شهر Z بيشتر است ؛ و اگر OH معلوم باشد ، تفاوت را از آن مىكاهيم كه OZ